Exponential Family

우리가 흔히 알고있는 분포들(이항분포, 다항분포, 정규분포)은 주로 지수족(Exponential Family)에 속한다.

지수족은 몇가지 특성들을 만족시키는 분포들의 집합이라고 생각하면 된다.

정의로는 다음과 같은 확률함수의 모양을 가지면 지수족이다.

$$ p(x|\eta)= \dfrac{1}{Z(\eta)}h(x)exp[\eta^T T(x)] = h(x)exp[\eta^T T(x)-A(\eta)] $$

• $\eta \in R^K$ with fixed support over $x^D \subseteq R^D$
• $\eta$: canonical parameters, $T(x)$: suffcient statistics
• $A(\eta) = logZ(\eta)$: log partition function ( A is a convex function over the convex set $\Omega$)

다음의 세가지 이유로 지수족은 유용하다고 여겨진다.

• Log partition function can generate moments by its derivatives
• Covaraicne of the sufficient statistics are the same as Fisher Information Matrix
• The statistics of moments are easily derived from $T(x)$(even MLE)

첫번째 불릿 - Log partition function can generate moments by its derivatives

부터 살펴보자. 다음 두가지가 매우 중요하다. $\nabla_\eta A(\eta) = E[T(x)], \; \nabla^2_\eta A(\eta) = Cov[T(x)]$ 이 중 첫번째에 대한 증명이 아래와 같다.

결국 핵심은 미분으로 모멘트를 생성할 수 있다는 것이다.

 

두번째 불릿 - Covaraicne of the sufficient statistics are the same as Fisher Information Matrix(FIM)

몇개의 조건(regulartiy conditions) 하에서 Fisher Information은 다음과 같이 계산된다.

$$ F(\eta) = -E_{p(x\eta)} [\nabla^2_\eta log p(x|\eta)] $$

$$ F(\eta) = -E_{p(x|\eta)} [ \nabla^2_\eta (\eta^TT(x) - A(\eta))] = \nabla^2_\eta A(\eta) = Cov[T(x)]$$

즉, 로그 분할 함수(log partition function)의 헤시안 매트릭스가 되는데, 이는 충분통계랑 $T$의 공분산과 동일하다는 것이다.

Cramer-Rao Lower Bound 등을 계산할 때 FIM이 이용되는데 지수족에 있는 분포들이면 손쉽게 계산된다.

 

세번째 불릿 -The statistics of moments are easily derived from $T(x)$(even MLE)

The likelihood of an exponential family has the form

$$ p(D|\eta) \Big[ \Pi^N_{n=1} h(x_n) \Big] exp\Big( \eta^T [\sum^N_{n=1} T(x_n)] - NA(\eta) \Big) \propto exp[\eta^T T(D)-NA(\eta)] $$

• $T(D) = [ \sum^N_{n=1} T_1(x_n), ..., \sum^N_{n=1} T_K(x_n)]$
• 이 때 해당 꼴에서 로그를 씌운 로그 우도함수(log-likelihood function)의 미분값이 0이 되면 이 때 충분통계량의 추정평균과 실제 평균이 같아진다.

$$ log p(D|\eta) = \eta^T T(D) - NA(\eta) + const $$

$$ \nabla_\eta log p(D|\eta) = \nabla_\eta \eta^T T(D) - N \nabla_\eta A(\eta) = T(D) - N E[T(x)] $$

N=1(single data case)에 대해서는 다음과 같다.

$$ \nabla_\eta log p(x|\eta) = T(x) - E[T(x)] $$

이 때 좌변의 gradient를 0으로 조절하면 (로그 우도함수의 최대화) 다음과 같으며 이를 moment matching 이라 한다.

$$ E[T(x)] = \dfrac{1}{N} \sum^N_{n=1} T(x_n)$$

 

 

Probabilistic Machine Learning: Advanced Topics. probml.github.io. (n.d.). https://probml.github.io/pml-book/book2.html